Algorytm Euklidesa

Algorytm Euklidesa – algorytm wyznaczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Został opisany przez greckiego matematyka, Euklidesa w jego dziele „Elementy”, w księgach siódmej oraz dziesiątej[1].

Pierwsze wzmianki na temat tego algorytmu pojawiły się w dziele Euklidesa zatytułowanym „Elementy”, około trzysetnego roku przed naszą erą, co sprawia, że jest jednym z najstarszych, wciąż używanych algorytmów numerycznych. Pierwsza wersja algorytmu została opisana tylko dla liczb naturalnych. W XIX wieku powstały odmiany algorytmu dla liczb całkowitych Gaussa oraz wielomianów z jedną niewiadomą. Doprowadziło to do powstania współczesnych pojęć algebry abstrakcyjnej, takich jak dziedzina Euklidesa. W późniejszych czasach opracowano odmiany algorytmu dla innych struktur matematycznych, jak węzły czy wielomiany z wieloma niewiadomymi.

Istnieje wiele teoretycznych i praktycznych zastosowań algorytmu. Może on zostać wykorzystany do generowania rytmów muzycznych, stosowanych jako ostinato w muzyce[2]. Jest wykorzystywany w algorytmie RSA. Algorytm Euklidesa używany jest też do rozwiązywania równań diofantycznych, na przykład do znajdowania liczb spełniających zadany układ kongruencji (chińskie twierdzenie o resztach) czy znajdowania liczb odwrotnych w ciele skończonym. Może być także stosowany do generowania ułamków łańcuchowych w metodzie Sturma do obliczania pierwiastków rzeczywistych wielomianu. Wykorzystywany jest również w kilku współczesnych algorytmach do faktoryzacji liczb całkowitych.

Jeżeli algorytm zostanie zaimplementowany poprzez obliczanie reszt z dzielenia, a nie odejmowanie, to jest wydajny dla dużych liczb: nigdy nie wymaga więcej dzieleń niż liczba cyfr (w systemie dziesiętnym) mniejszej liczby pomnożona przez 5. Zostało to udowodnione przez Gabriela Lamé w 1844 i uważane jest za pierwszy przypadek analizy złożoności obliczeniowej algorytmu. Sposoby zwiększenia wydajności algorytmów zostały opracowane w XX wieku.

Największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb jest największa z liczb, która dzieli obie te liczby bez reszty. Algorytm Euklidesa opiera się na założeniu, że największy wspólny dzielnik dwóch liczb nie zmienia się, jeżeli od większej liczby odejmujemy mniejszą. Dla liczb całkowitych k, m oraz n załóżmy, że k jest wspólnym czynnikiem liczb A oraz B; załóżmy też, że {\displaystyle A=(n*k),} {\displaystyle B=(m*k)} oraz {\displaystyle A>B.} Możemy teraz dokonać działania {\displaystyle A-B=(n-m)*k,} wiemy więc, że k jest także wspólnym czynnikiem różnicy tych liczb.

Najprostsza wersja algorytmu rozpoczyna się od wybrania dwóch liczb naturalnych, dla których należy wyznaczyć największy wspólny dzielnik. Następnie z tych dwóch liczb tworzymy nową parę: pierwszą z liczb jest liczba mniejsza, natomiast drugą jest różnica liczby większej i mniejszej. Proces ten jest powtarzany aż obie liczby będą sobie równe – wartość tych liczb to największy wspólny dzielnik wszystkich par liczb wcześniej wyznaczonych. Wadą tej wersji algorytmu jest duża liczba operacji odejmowania, które należy wykonać w przypadku, gdy różnica pomiędzy liczbami z pary jest znacząca.

Operacja odejmowania mniejszej liczby od większej może zostać zastąpiona przez wyznaczanie reszty z dzielenia. W tej wersji nowa para liczb składa się z mniejszej liczby oraz reszty z dzielenia większej przez mniejszą. Algorytm kończy się w momencie, w którym jedna z liczb jest równa zero – druga jest wtedy największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład – wersja z odejmowaniem[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że chcemy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 1989 oraz 867. Jeżeli od większej liczby odejmiemy liczbę mniejszą, wartość największego wspólnego dzielnika nie ulegnie zmianie. Ponieważ 1989 – 867 = 1122, nowa para liczb wygląda następująco:

Ponownie odejmujemy mniejszą liczbę od większej 1122 – 867 = 255, tworząc w ten sposób kolejną parę:

867 nie jest już mniejszą liczbą. Stosując ten sam sposób, ponownie zmniejszamy wartość większej liczby o wartość mniejszej: 867 – 255 = 612, nowa para liczb to:

Pierwsza liczba, 255, jest wciąż mniejsza, ponownie więc odejmujemy 255 od liczby większej: 612 – 255 = 357, więc kolejna para liczb to:

357 – 255 = 102, kolejna para to:

Teraz widać, że 255 jest większą liczbą, odejmujemy więc od niej 102, co daje nam parę:

Odjęcie 102 od 153 tworzy nam kolejną parę:

Teraz odejmujemy 51 od 102, co daje nam:

Ponieważ obie liczby są sobie równe, kolejne odejmowanie da nam zero. Oznacza to, że największym wspólnym dzielnikiem liczb 1989 i 867 jest liczba 51.

Algorytm wykorzystujący funkcję modulo to druga równoważna implementacja algorytmu Euklidesa. Poniżej przedstawiono wersję obliczania NWD liczb a i b wykorzystującą operację reszty z dzielenia (modulo):